Balarısındaki matematik sırır izah eder misiniz?

Cevap

Değerli kardeşimiz,

“THE TRUTH OF CREATION 2” FROM MATHEMATICS PERSPECTIVE (MATHEMATICS IN BEE)

Assoc. Prof. Dr. Erhan PİŞKİN

Dicle Üniversitesi, Z.G. Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Anabilim Dalı, Diyarbakır, Türkiye [email protected]

Abstract

We will prove that the geometric shape with a minimum length and the most overlapping area is smooth hexagonal when we want to cover a planar region with smooth polygons. We will also explain the reasons why equilateral triangles, squares and other smooth polygons are not preferred. Then we will try to calculate the optimal honeycomb size by looking at the relation between the size of the hexagon in the eyes (compound eye) of some insects and the size of the body of the insect. Here we will search an answer for the question “What should the honeycomb size be for the maximum seeing area of an insect?”. While doing these investigations, we will try to understand how artistic works have been done to bees who are mindless, unconscious creatures. These magnificient arts in a creature, of course, can not be given to coincidences and nature. That means there is a Creator who does these works. Thinking contrary is ignoring the author after seeing the book, ignoring the artist after seeing the art, rejecting the architect after seeing the work and finally falling into a ridiculous position that is inconsistent with reason.

Key Words: Honeycomb, Compound eye, Hexagonal structure

MATEMATİĞİN PENCERESİNDEN “YARATILIŞ GERÇEĞİ 2” (BAL ARISINDAKİ MATEMATİK)

Doç. Dr. Erhan PİŞKİN Özet

Düzlemsel bir bölgeyi düzgün çokgenler ile örtmek istediğimizde çevre uzunluğu en az ve kapladığı alan en çok olan geometrik şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatlayacağız. Ayrıca eşkenar üçgen, kare ve diğer düzgün çokgenlerin tercih edilmeme sebeblerini sayısal örnekler üzerinde açıklayacağız. Daha sonra bazı böceklerde bulunan altıgen yapıya sahip gözlerdeki (petek göz) altıgenin büyüklüğü ile böceğin vücut büyüklüğü arasındaki ilişkiye bakıp gözlerdeki optimal petek büyüklüğünü hesaplamaya çalışacağız. Aslında burada “bir böceğin maksimum görüş alanı için petek büyüklüğü ne olmalıdır?” sorusuna yanıt arayacağız. Bu incelemeleri yaparken akılsız şuursuz canlılar olan arılara ne derece sanatlı işler yaptırıldığını anlamaya çalışacağız. Küçük bir böcekte bu derece muazzam sanatların bulunması elbette tesadüflere ve tabita verilemez. Demek ki bu işleri yaptıran bir Yaratıcı vardır. Aksini düşünmek kitabı görüp yazarı görmezden gelmek, resmi görüp ressamı kabul etmemek, eseri görüp mimarı reddetmek ve nihayet akılla bağdaşmayacak gülünç bir duruma düşmektir.

Anahtar Kelimeler: Bal peteği, Petek gözler, Altıgen yapı

1. BAL PETEĞİNİN YAPISI

Herhangi bir düzlemsel bölgeyi (Kare veya dikdörtgen gibi), çevre uzunluğu en az olan eşit alanlı küçük parçalar ile kaplamak istediğimizi kabul edelim. Çevresi eşit ve alanı en fazla olan geometrik şekil çemberdir. Fakat aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere çemberlerin aralarında boşluklar kalır.

Bu nedenle çokgenleri kullanmamız gerekiyor. Burada geometri bilgimizden biliyoruz ki; çevre uzunluğu eşit ve en büyük alanlı çokgenler düzgün çokgenlerdir. Mesela; çevreleri eşit en büyük alanlı üçgen eşkenar üçgen, çevreleri eşit en büyük alanlı dörtgen kare, çevreleri eşit en büyük alanlı beşgen ise düzgün beşgendir. Şimdi düzlemi bazı çokgenler ile kaplama örnekleri verelim;

Düzlemde üçgenler kullanılırsa

Düzlemde kareler kullanılırsa

Düzlemde düzgün beşgenler kullanılırsa

Düzlemde düzgün altıgenler kullanılırsa

Yukarıdaki şekillerden de görüldüğü gibi eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgende düzlem tamamen kaplanabildiği halde, düzgün beşgenler arasında boşluklar oluşur.

Burada akla şöyle bir soru gelebilir:

Hangi eşit alanlı düzgün çokgenler ile düzlem kaplanabilir?

n kenarlı bir düzgün çokgenin her bir iç açısı 180-360/n dır. Çokgenin düzlemde araya boşluk bırakmadan doldurması için birleşilen köşelerde x komşu açıların sayısı olmak üzere denklemi sağlanmalıdır.

olarak yazılırsa n= 3, 4 veya 6 olabilir.

x(180-360/n)=360

x=2+4/(n-2)

Demek ki düzlemi boşluk bırakmadan düzgün çokgenler ile örtmek istiyorsak eşkenar üçgen, kare veya düzgün altıgen kullanmalıyız. Eşit çevre uzunluğuna sahip bu çokgenlerden hangisi ile en büyük alanlı bölge elde edilebilir?

Elimizde x birim uzunluğunda bir tel olsun. Bu durumda alanlar sırasıyla Tablo 1 de görüldüğü gibi olur.

Tablo 1

Çokgen	Kenar Uzunluğu	Alan
Üçgen	x/3	x2 3 ; 0, 048x2 36
Kare	x/4	x2 ; 0, 062 x2 16
Düzgün altıgen	x/6	x2 3 ; 0, 072 x2 24

Tablo 1 de görüldüğü gibi eşit çevreye sahip; üçgen, kare ve düzgün altıgenden, en büyük alana sahip çokgen düzgün altıgendir. Bal peteklerinin düzgün altıgen biçiminde olması akılsız ve şuursuz bir arının tercihi olamaz…

Şekil 1.1. Gerçek bal peteği

2. PETEK GÖZLER

Böceklerin gözleri birbirinden farklı yönlere bakan çok sayıda küçük peteklerden oluşmuştur. Bu petekler birbirinden ince bir çizgi ile ayrılmıştır. Yani bir peteğe gelen ışık diğer peteğe geçmez. Böylece her petek kendi doğrultu ekseninden gelen ışığı görebilir.

Şekil 2.1. Böceklerdeki petek göz

Böceklerde peteklerin büyüklüklerine göre, petek sayıları değişebilir. Yani petek sayısı az ise petekler büyük, peteklerin sayıları çok ise petekler küçüktür. Bu kısımda peteklerin büyüklük veya diğer özelliklerinden ziyade, “bir böceğin maksimum görüş alanı için petek büyüklüğü ne olmalıdır?” sorusuna yanıt arayacağız.

Her petek küçük bir ışık noktasını görebilmektedir. Bir böcek farklı iki ışık kaynağına bakarsa (Şekil 2.2),

Şekil 2.2. Farklı iki noktaya bakan bir arı bu iki ışık kaynağını birbirinden ayırt edebilmesi için aydınlık iki petek arasında karanlık bir petek kalmalıdır (Şekil 2.3).

Şekil 2.3. Gözde aydınlanan petekler

Bu iki ışık kaynağı arasındaki açı “α”; göz “R” yarıçaplı yarım küre olarak düşünülürse; peteklerin dış yüzeydeki genişlikleri “r “ ise bu durumda komşu iki peteğin eksenleri arasındaki açı 2r/R radyan olur. Işık kaynaklarının birbirinden ayırt edilebilmesi için α>4r/R olmalıdır. Peteğin çapı küçük olursa α açısı da küçük olacağından daha net görüntü elde edilir. Fakat peteğin çapı çok çok küçük olursa, yine de çok iyi görüntü oluşmaz. l dalga boyuna sahip bir ışığın r çaplı bir delikten geçerken iki farklı cismin farklı görüntülerinin oluşabilmesi için cisimler arasında en az 6l/5r radyanlık açı olmalıdır (Karaoğlu, 2012). Böylece Şekil 2 deki iki aydınlanan petek arasında, aydınlanmayan peteğin cisimlerden ışık almaması için (arada kalan aydınlanmayan peteğin ekseni her iki ışık kaynağının doğrultusu ile α/2 yapmak üzere) α/2>6l/5r olmalıdır. Böylece peteğin optimum çapı

olarak hesaplanır.

Örneğin; Göz çapı 12/5 mm olan Apis Mellifera türündeki arının petek çapı 0,021 mm dır (Varela and Wiitanen, 1970).

3. SONUÇ

Bu çalışmada bal peteğinin ve böceklerde bulunan petek gözler de ne derece hassas ölçü olduğunu göstermeye çalıştık. Bunların akılsız şuursuz canlılar tarafından yapılma veya tesadüfen kendi kendine olma ihtimali yoktur. Demek ki bunları bir yapan yaratıcı vardır. Aksini düşünmek kitabı görüp yazarı görmezden gelmek, resmi görüp ressamı kabul etmemek, eseri görüp mimarı reddetmek ve nihayet akılla bağdaşmayacak gülünç bir duruma düşmektir.

KAYNAKLAR

1.KaraoğluB,ÜniversiteleriçinFizik,SeçkinYayıncılık,

2.VarelaF, WiitanenW,The Opticsofthe Compound Eye ofthe Honeybee (Apis mellifera),TheJournal of General Physiology, 1970; 336-358.

Kaynak: Bilim Işığında Yaratılış Derneği

Selam ve dua ile...
Sorularla İslamiyet